last update 10-MAR-1999

1. 楕円

1-1-1-1. 楕円は面白い、楕円は奥が深い。円筒を斜めにカットした時に出来る曲線が楕円である。

1-1-1-2. Ｘ＝０，Ｙ＝０を中心とし、傾き＝０の楕円を考えてみる。
２つの定点ＦとＦ’に至る距離の和が一定になる点Ｐの取る軌跡が楕円になる。この性質に基づいて、直交座標系における楕円の方程式を導いてみよう。

ＦとＦ’を結ぶ直線をＸ軸に、ＦＦ’の垂直二等分線をＹ軸にとれば、焦点ＦとＦ’の座標はそれぞれ、
　　Ｆ（ｃ，０），　Ｆ’（－ｃ，０）
と置く事が出来る。

1-1-1-3. この時、Ｐ（ｘ，ｙ）とすれば、
　　
　　
である。

1-1-1-4. 楕円に接する線を考えてみる事にする。

1-1-1-5.

　　＋＝１

　　

1-1-1-6. 点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）における楕円の接線の方定式を求めてみる。
楕円上の点Ｐ、点Ｑで交わる直線が、Ｐ＝Ｑの条件において直線は楕円の接線であると定義される。
点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）を通って方向余弦がλ，μである直線の媒介変数方程式は
　　ｘ＝ｘ_１＋λｔ　　ｙ＝ｙ_１＋λｔ
であり、これを楕円の方定式に代入すれば次の式を得られる。

　　＋＝１

これを、

　　＋＝１

を用いて簡単にすれば、

　　ｔ［（ｂ^２λ^２＋ａ^２μ^２）ｔ＋２（ｂ^２λｘ_１＋ａ^２μｙ_１）］＝０

この解がＰ_１を与え、他の解がＱを与える。すなわちＰ_１とＱが一致すれば、この直線は楕円の接線になる。その為の条件は、

　　ｂ^２λｘ_１＋ａ^２μｙ_１＝０

となる。よって、直線の媒介変数方程式

　　ｘ＝ｘ_１＋λｔ　　ｙ＝ｙ_１＋μｔ

の前者にｂ^２ｘ_１を、後者にａ^２ｙ_１を掛けてそれぞれ加えれば

　　ｂ^２ｘ_１ｘ＋ａ^２ｙ_１ｙ＝ｂ^２ｘ_１^２＋ａ^２ｙ_１^２

を得る。
しかし、Ｐ_１（ｘ_１，ｙ_１）が楕円上にある事から、

　　ｂ^２ｘ_１^２＋ａ^２ｙ_１^２＝ａ^２ｂ^２

であるから、

　　ｂ^２ｘ_１ｘ＋ａ^２ｙ_１ｙ＝ａ^２ｂ^２

となる。したがって、

　　＋＝１

　　

上式が楕円上の点Ｐ１（ｘ１，ｙ１）における接線の方程式である。

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